L'addition

Commençons par le commencement

Vous connaissez bien cette opération. Mais il y a certains concepts très importants que vous n'avez peut-être pas approfondis. Avant de les aborder, commençons, sans nous appesantir, par de petits rappels.

Un nombre qui intervient dans une addition est appelé un terme, et le résultat d’une addition une somme.

Une propriété de l’addition est qu’on peut intervertir les termes: 3+5 = 5+3. On dit que l’addition est commutative. Dans une addition avec de nombreux termes, on peut donc les mélanger comme on veut, cela ne change rien au résultat. Cette propriété est surtout utile lors de calculs compliqués.

L’addition est associative: on peut effectuer les calculs dans n’importe quel ordre sans changer le résultat. Par exemple pour ajouter 3, 6 et 11, on peut commencer par ajouter 3 et 6, puis ajouter 11 au total. Une autre possibilité est d’ajouter 6 et 11, puis 3 au total: (3+6)+11 = 3+(6+11).

Les parenthèses indiquent une priorité : les calculs entre parenthèses doivent être faits avant les autres. Quand il n'y a que des additions, comme on peut faire les calculs dans n'importe quel ordre, elles ne servent à rien. Ainsi, on peut enlever toutes les parenthèses qui regroupent des termes. Par exemple : (3+6)+11 = 3+(6+11) = 3+6+11.

On peut aussi enlever les parenthèses qui ne contiennent qu'un seul nombre. Elles ne servent à rien non plus, car il n'y a pas de calculs à faire entre les parenthèses : 3+(6) = 3+6.

Les différents habits d’un nombre

Une expression mathématique, ou plus simplement une expression, est une suite de nombres et de symboles mathématiques. Il est très important de comprendre qu'une expression, même si on n’a pas encore effectué le calcul, est un nombre. En effet, ce n’est pas parce qu’on n’a pas encore effectué le calcul que le résultat n’existe pas. Une expression peut donc être remplacée par son résultat, ce qui signifie qu'une expression est le même nombre que son résultat. Ainsi, 2+3 est un nombre, que vous connaissez bien. Faire des opérations avec 2 + 3 est donc la même chose que faire des opérations avec le nombre 5. Même si une expression est très compliquée, il ne faut donc pas en avoir peur et faire des calculs avec comme si c'était un simple nombre.

Les entiers relatifs

Un nombre négatif est un nombre inférieur où égal à zéro. Une altitude négative signifie que l'on est en-dessous du niveau de la mer, une date négative que l'événement se situe avant la naissance de Jésus Christ, un solde bancaire négatif signifie que l'on a une dette. Le signe moins fait partie d’un nombre négatif. Il est par exemple indissociable du nombre -11, on ne peut pas l'enlever, sinon ce n'est plus le même nombre.

Un nombre positif est un nombre supérieur ou égal à zéro.

Zéro est par définition à la fois positif et négatif, car à la fois supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à zéro.

Un nombre est strictement positif s'il est positif mais différent de 0, strictement négatif s'il est négatif mais différent de 0.

Un entier naturel est un entier positif. Un entier relatif est un nombre positif ou négatif.

Le chiffre 0 représente le fait qu’il n’y a rien. Cela paraît évident aujourd'hui, mais les hommes ont mis de nombreux siècles avant de pouvoir comprendre que l’ont pouvait noter le “rien” et l’intégrer à des calculs. Les romains, pourtant si puissants, ne connaissaient pas le zéro. Comme quoi ce qui a l'air simple ne l'est pas toujours, et il faut donc se méfier: l'a-t-on bien compris?

C’est par exemple le cas avec le signe moins. Le signe moins est, à mon avis, une source de grande confusion pour beaucoup d’élèves, car il possède deux fonctions: il est utilisé à la fois pour noter les nombres négatifs, et dans les opérations de soustraction. Ainsi, dans le premier cas, il fait partie d’un nombre et ne peut pas être séparé de lui (-11), et dans le second cas, il relie deux nombres (15 - 11), et n’appartient à aucun d’entre eux.

La notion d’opposé

Pour éviter les ambiguïtés, les mathématiciens attribuent une seule fonction au signe - : faire partie d'un nombre. Le signe – est utilisé pour désigner ce qu'ils appellent l'opposé d'un nombre.

Par exemple, l'opposé de 11 est le nombre -11. Les nombres négatifs sont donc les opposés de nombres positifs. Mais il n'y a pas que les nombres positifs qui ont des opposés, tous les nombres en ont.

Pour les mathématiciens, la somme d'un nombre et de son opposé doit donner 0. C'est comme ça qu'ils définissent les nombres opposés. L'opposé d'un nombre est noté en mettant le signe – devant ce nombre.

Un nombre négatif possède donc lui aussi un opposé, c'est le nombre qu'on lui ajoute pour arriver à 0. Par exemple, l'opposé du nombre -11 est le nombre 11 car -11 + 11 = 0.

Mais on nous dit que l'opposé du nombre -11 doit être noté rajoutant le signe – devant lui, c'est donc - - 11. Cela peut paraître bizarre, mais on a le droit de mettre plusieurs signes – devant un nombre. En général, on évite cependant de coller deux signes l'un à côté de l'autre. Ainsi, bien que les parenthèses soient inutiles quand elles n'entourent qu'un seul nombre, on notera - (-11) au lieu de - -11. Mais qu'on note un opposé entre parenthèses ou pas ne change rien, c'est simplement pour faire plus joli.

L'opposé de -11 est donc à la fois - - 11 et 11, ce qui signifie que - - 11 = 11. L'opposé de l'opposé de -11 est donc 11.

Remarquons que 0 est égal à son opposé (–0 = 0), car 0 + 0 = 0.

Exercice : simplifier l'écriture du nombre - - - - - 5.
- - 5 est l'opposé du nombre - 5, c'est donc le nombre 5. - - - 5 est l'opposé du nombre - - 5 = 5, c'est donc le nombre -5. - - - - 5 est l'opposé du nombre - - - 5 = -5, c'est donc le nombre 5. Finalement : - - - - - 5 = -5. La notation avec des parenthèses aurait été un peu lourde : -(-(-(-(-5)))) = - - - - - 5.

Il est donc important de retenir que le signe – fait partie du nombre immédiatement à sa droite.

Comme une expression est un nombre, elle possède un opposé, que l'on note en mettant un – devant l'expression mise entre parenthèse : l'opposé de 4 + 3 – 6*2 est -( 4 + 3 – 6*2). Le signe – désigne l'opposé du nombre 4 + 3 – 6*2, c'est pour cela que l'on a rajouté les parenthèses. Si l'on avait écrit - 4 + 3 – 6*2, le – aurait fait partie uniquement du nombre -4, pas du nombre 4 + 3 – 6*2.